1. Zadatak

Osni presjek stošca i njemu upisane kugle je jednakokračni pravokutni trokut s upisanom kružnicom polumjera $R$. Izvodnice stošca su katete, a promjer baze stošca je hipotenuza tog pravokutnog trokuta. (skica)

Polumjer $R$ pravokutnom trokutu upisane kružnice računamo po formuli

$$R=\frac12(a+b-c),$$

pri čemu su $a$ i $b$ katete, a $c$ hipotenuza

$$\left(\text{ili preko površine: }P=R\cdot\frac12(a+b+c)=\frac12ch\right).$$

Budući da je $h=2$ cm, slijedi $a=b=s=2\sqrt2$ cm i $c=2r=4$ cm, pa je

$$R=\frac12(2\sqrt2+2\sqrt2-4)=2(\sqrt2-1)\text{ cm}.$$

Uvrstimo li $R$ u formulu za oplošje kugle, $O=4R^2\pi$, dobivamo

$$O=16\pi(3-2\sqrt2)\text{ cm}^2.$$

Napomena: Učenik može do polumjera kugle doći i koristeći jednakost $h=R+R\sqrt2$, odakle je

$$R=\frac{h}{1+\sqrt2}=\frac{2}{1+\sqrt2}.$$