2. Zadatak

Prvo rješenje.

Uvodimo supstituciju $x-y=a$ i $x+y=b$.

Tada sustav prelazi u

$$\sqrt[a]{b}=2\sqrt3,\qquad b\cdot2^{-a}=3.$$

Ako prvu jednadžbu potenciramo s eksponentom $a$, dobivamo da je $b=(2\sqrt3)^a$. Uvrštavanjem u drugu jednadžbu dobivamo

$$(2\sqrt3)^a2^{-a}=3$$ $$2^a(\sqrt3)^a2^{-a}=3$$ $$3^{\frac12a}=3.$$

Odatle je $a=2$, pa je $b=(2\sqrt3)^a$ odnosno $b=12$.

Preostaje još odrediti $x$ i $y$ iz sustava

$$x-y=2,\qquad x+y=12.$$

Konačno, rješenje polaznog sustava je $x=7$, $y=5$.

Drugo rješenje.

Logaritmiranjem obiju jednadžbi po bazi 2 dobivamo

$$\frac1{x-y}\cdot\log_2(x+y)=\log_2 2\sqrt3$$ $$\log_2(x+y)+(y-x)=\log_2 3.$$

Uvedimo supstituciju $a=x-y$, $c=\log_2(x+y)$. Tada imamo

$$\frac ca=1+\frac12\log_2 3$$ $$c-a=\log_2 3.$$

Pomnožimo li prvu jednadžbu s $a$ dobivamo $c=a+\frac a2\log_2 3$, odnosno

$$c-a=\frac a2\log_2 3.$$

Slijedi $\frac a2\log_2 3=\log_2 3$, pa je $a=2$.

Sada je $c=a+\log_2 3=2+\log_2 3=\log_2 12$.

Vratimo se na supstituciju kako bismo odredili $x$ i $y$.

$$x-y=2$$ $$\log_2(x+y)=\log_2 12.$$

Dakle, $x+y=12$ te je $x=7$, $y=5$.