5. Zadatak

Simetrala kuta u trokutu siječe njemu nasuprotnu stranicu u omjeru preostalih stranica (Poučak o simetrali kuta u trokutu), odnosno vrijedi $\frac xy=\frac54$, gdje je $x=|AD|$, $y=|DB|$, a točka $D$ je sjecište zadane simetrale i stranice $\overline{AB}$. Tada je $x=5k$, $y=4k$.

Primijenimo poučak o kosinusu na trokute $ADC$ i $CDB$.

$$\cos\frac\gamma2=\frac{5^2+\left(\frac{10}{3}\right)^2-25k^2}{2\cdot5\cdot\frac{10}{3}}, \qquad \cos\frac\gamma2=\frac{\left(\frac{10}{3}\right)^2+4^2-16k^2}{2\cdot4\cdot\frac{10}{3}}.$$

Izjednačavanjem desnih strana tih jednakosti dobivamo

$$\frac{5^2+\left(\frac{10}{3}\right)^2-25k^2}{2\cdot5\cdot\frac{10}{3}} = \frac{\left(\frac{10}{3}\right)^2+4^2-16k^2}{2\cdot4\cdot\frac{10}{3}},$$

odnosno nakon sređivanja $k^2=\frac49$,

pa je $k=\frac23$.

Tada je $|AB|=x+y=9k=6$ cm.

Napomena: Slično se dođe do rješenja ako se primijeni poučak o kosinusu na trokute $ADC$ i $ABC$ za određivanje $\cos\alpha$.

Ako učenik ne koristi poučak o simetrali kuta u trokutu, do omjera $\frac xy=\frac54$ može doći i primjenom poučka o sinusu na trokute $ADC$ i $DBC$:

$$\frac{x}{\sin\frac\gamma2}=\frac5{\sin\varphi}, \qquad \frac{y}{\sin\frac\gamma2}=\frac4{\sin(180^\circ-\varphi)}, \qquad \text{gdje je }\varphi=\angle ADC.$$

Kako je $\sin(180^\circ-\varphi)=\sin\varphi$, slijedi da je $\frac xy=\frac54$, a dalje postupamo kao u prvom rješenju.