6. Zadatak

Prvo rješenje. Riješimo danu jednadžbu kao kvadratnu jednadžbu po $x$.

$$x^2-2x\cdot(\cos y+4)+20+5\cdot\cos^2y=0.$$ $$x_{1,2}=\frac{2\cdot(\cos y+4)\pm\sqrt{4\cdot(\cos^2y+8\cos y+16)-4\cdot(20+5\cos^2y)}}{2}$$ $$x_{1,2}=\cos y+4\pm\sqrt{-4\cdot\cos^2y+8\cos y-4}$$ $$x_{1,2}=\cos y+4\pm\sqrt{-(2\cos y-2)^2}$$

Rješenje će biti realno samo ako je diskriminanta jednaka nuli, tj. $\cos y=1$. Tada je $x=5$.

Rješenje je $x=5$, $y=2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Drugo rješenje. Riješimo danu jednadžbu kao kvadratnu jednadžbu po $\cos y$. Uvest ćemo supstituciju $\cos y=t$, nakon čega dana jednadžba prelazi u

$$5t^2-2x\cdot t+x^2-8x+20=0.$$ $$t_{1,2}=\frac{2x\pm\sqrt{4x^2-20\cdot(x^2-8x+20)}}{10}$$ $$t_{1,2}=\frac{2x\pm\sqrt{-16x^2+160x-400}}{10}$$ $$t_{1,2}=\frac{2x\pm\sqrt{-16(x-5)^2}}{10}$$

Rješenje će biti realno samo ako je diskriminanta jednaka nuli, tj. $x=5$. Tada je $t=1$ ili $\cos y=1$.

Rješenje je $x=5$, $y=2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.