8. Zadatak

Nacrtajmo karakterističan presjek zadanih geometrijskih tijela.

Neka je $R$ polumjer kugle, a $r$ polumjer baze stošca. Računamo oplošje i obujam kugle.

$$O_K=4R^2\pi,\qquad V_K=\frac43R^3\pi.$$

Računamo oplošje i obujam valjka.

$$v=2R$$ $$O_V=2R\pi(R+v)=6R^2\pi$$ $$V_V=R^2\pi v=2R^3\pi$$

Računamo oplošje i obujam stošca. $R$ je polumjer kružnice upisane u jednakostraničan trokut stranice $2r$ pa je

$$R=\frac{2r\sqrt3}{6}\quad\text{ili}\quad r=R\sqrt3$$ $$s=2r,\qquad v=r\sqrt3$$

Tada je

$$O_S=r\pi(r+s)=3r^2\pi=9R^2\pi$$ $$V_S=\frac13r^2\pi v=3R^3\pi$$ $$O_K:O_V:O_S=4R^2\pi:6R^2\pi:9R^2\pi=4:6:9$$ $$V_K:V_V:V_S=\frac43R^3\pi:2R^3\pi:3R^3\pi=\frac43:2:3=4:6:9$$

Prema tome, vrijedi $O_K:O_V:O_S=V_K:V_V:V_S$.