7. Zadatak

Kako je $D$ polovište stranice $BC$, njezina je duljina $|BC|=2\cdot1=2\ \text{cm}$.

Točka $T$ je težište trokuta $ABC$ pa je $|TD|=\frac13|AD|$, odnosno $|AD|=3\ \text{cm}$.

Trokut $BDT$ je jednakostraničan pa je $\angle BDT=60^\circ$, a $\angle CDT=120^\circ$.

Primijenimo kosinusov poučak na trokut $BDA$.

$$|AB|^2=|BD|^2+|AD|^2-2|BD|\cdot|AD|\cos60^\circ$$ $$|AB|^2=1+9-2\cdot1\cdot3\cdot\frac12=7$$ $$|AB|=\sqrt7\ \text{cm}.$$

Primijenimo kosinusov poučak na trokut $CDA$.

$$|AC|^2=|CD|^2+|AD|^2-2|CD|\cdot|AD|\cos120^\circ$$ $$|AC|^2=1+9+2\cdot1\cdot3\cdot\frac12=13$$ $$|AC|=\sqrt{13}\ \text{cm}.$$

Površinu trokuta $ABC$ računamo kao dvostruku površinu trokuta $ADC$ jer trokuti $ADC$ i $ADB$ imaju istu osnovicu ($|BD|=|DC|$) i visinu na tu osnovicu.

$$P=2\cdot\frac12|CD|\cdot|AD|\sin120^\circ=\frac{3\sqrt3}{2}\ \text{cm}^2.$$

Polumjer opisane kružnice je

$$R=\frac{abc}{4P}=\frac{2\cdot\sqrt7\cdot\sqrt{13}}{4\cdot\frac{3\sqrt3}{2}}=\frac{\sqrt{91}}{3\sqrt3}=\frac{\sqrt{273}}9\ \text{cm}.$$