5. Zadatak

Prvo rješenje.

Uočimo da je površina kvadrata jednaka zbroju četiri površine osjenčanog dijela $P_x$ i tražene površine. Najprije ćemo izračunati površinu $P_x$.

Površinu $P_x$ dobijemo ako od kružnog isječka $ABF$ oduzmemo površinu kružnog odsječka kruga sa središtem $D$, omeđenog tetivom $AF$ i lukom $AF$. Trokut $AFD$ je jednakostraničan trokut (njegove su stranice jednake polumjeru nacrtanih lukova). Stoga je $\angle FAB=30^\circ$, $\angle FDA=60^\circ$. Slijedi

$$P_x=a^2\pi\cdot\frac{30^\circ}{360^\circ}-\left(a^2\pi\cdot\frac{60^\circ}{360^\circ}-\frac{a^2\sqrt3}{4}\right)=\frac{a^2\sqrt3}{4}-\frac{a^2\pi}{12}.$$

Tražena površina jednaka je

$$P=a^2-4P_x=a^2\left(1-\sqrt3+\frac\pi3\right).$$

Traženi opseg jednak je četverostrukoj duljini luka $EF$ kojemu pripada središnji kut od $30^\circ$. Stoga je

$$o=4\cdot\frac1{12}\cdot2a\pi=\frac{2a\pi}{3}.$$

Drugo rješenje.

Osjenčeni lik sastoji se od kvadrata $EFGH$ čiji su vrhovi sjecišta nacrtanih lukova i četiri sukladna kružna odsječka. Uočimo da je trokut $ABG$ jednakostraničan, a kut $\angle FAG=30^\circ$.

Duljinu $x$ stranice kvadrata računamo primjenom Pitagorinog poučka na trokut $FGN$, gdje je $N$ sjecište $AF$ i $BG$, odnosno polovište dužine $BG$.

$$\begin{aligned} x^2=|FG|^2&=|NG|^2+|NF|^2\\ &=\left(\frac12|BG|\right)^2+(|AF|-|AN|)^2\\ &=\left(\frac a2\right)^2+\left(a-\frac{a\sqrt3}{2}\right)^2\\ &=\frac{a^2}{4}+a^2\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\\ &=a^2(2-\sqrt3). \end{aligned}$$

Površinu kružnog odsječka nad tetivom $FG$ dobit ćemo oduzimanjem površine trokuta $AFG$ od površine odgovarajućeg kružnog isječka s vrhom u $A$.

$$P_{\mathrm{odsj}}=P_{\mathrm{isj}}-P_{\triangle}.$$ $$P(\triangle AFG)=\frac12\cdot|AF|\cdot|GN|=\frac12\cdot a\cdot\frac a2=\frac{a^2}{4},$$ $$P_{\mathrm{odsj}}=\frac1{12}a^2\pi-\frac{a^2}{4}=a^2\left(\frac\pi{12}-\frac14\right).$$

Konačno je tražena površina

$$\begin{aligned} P&=x^2+4P_{\mathrm{odsj}}\\ &=a^2(2-\sqrt3)+4a^2\left(\frac\pi{12}-\frac14\right)\\ &=a^2\left(1-\sqrt3+\frac\pi3\right). \end{aligned}$$

Opseg lika računamo na isti način kao u prvom rješenju.