3. Zadatak

Iz jednakosti $a^3+b^3+c^3=ab(a+b)-bc(b+c)+ac(a+c)$ slijedi

$$\begin{aligned} a^3+b^3+c^3-a^2b-ab^2+b^2c+bc^2-a^2c-ac^2&=0,\\ a^3-ab^2-ac^2+b^3-a^2b+bc^2+c^3+b^2c-a^2c&=0,\\ a(a^2-b^2-c^2)+b(b^2-a^2+c^2)+c(c^2+b^2-a^2)&=0,\\ (b^2+c^2-a^2)(-a+b+c)&=0. \end{aligned}$$

Zbog nejednakosti trokuta je $b+c-a>0$ pa mora biti $b^2+c^2-a^2=0$, odnosno $b^2+c^2=a^2$.

Dakle, zadani je trokut pravokutan s hipotenuzom duljine $a$. Kako je $\cos\beta=\frac{24}{25}$, duljine stranica tog trokuta su oblika

$$a=25k,\qquad c=24k,\qquad b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{(25k)^2-(24k)^2}=7k.$$

Označimo dijelove danog trokuta kao na slici:

Iz sličnosti trokuta $ABD$ i $CBA$ te trokuta $CAD$ i $CBA$ (ili iz Euklidovog poučka) dobivamo

$$\frac{p}{b}=\frac{b}{a}\Longrightarrow p=\frac{b^2}{a},\qquad \frac{q}{c}=\frac{c}{a}\Longrightarrow q=\frac{c^2}{a}.$$

Traženi omjer je

$$\frac pq=\frac{b^2}{c^2}=\left(\frac{7k}{24k}\right)^2=\frac{49}{576}$$

(ili recipročan).