1. Zadatak

Za rješenja jednadžbe $x^2-(2^{m-1}-5)x+1=0$ vrijedi

$$x_1+x_2=2^{m-1}-5,\qquad x_1x_2=1.$$

Zato je

$$\begin{aligned} \left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2+\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2 &=\frac{x_1^4+x_2^4}{x_1^2x_2^2}\\ &=\frac{(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2}{x_1^2x_2^2}\\ &=\frac{\big((x_1+x_2)^2-2x_1x_2\big)^2-2(x_1x_2)^2}{(x_1x_2)^2}\\ &=\frac{\big((2^{m-1}-5)^2-2\big)^2-2\cdot1^2}{1^2}\\ &=\big((2^{m-1}-5)^2-2\big)^2-2. \end{aligned}$$

Dani uvjet ekvivalentan je s

$$\begin{aligned} \big((2^{m-1}-5)^2-2\big)^2-2&<47\\ \big((2^{m-1}-5)^2-2\big)^2&<49\\ \left|(2^{m-1}-5)^2-2\right|&<7\\ -7<(2^{m-1}-5)^2-2&<7\\ -5<(2^{m-1}-5)^2&<9. \end{aligned}$$

Nejednakost $-5<(2^{m-1}-5)^2$ vrijedi za sve realne brojeve $m$, a nejednakost $(2^{m-1}-5)^2<9$ ekvivalentna je s

$$-3<2^{m-1}-5<3,$$

odnosno $2<2^{m-1}<8$, odakle dobivamo $1<m-1<3$.

Konačno, tražene vrijednosti parametra su

$$m\in\langle2,4\rangle.$$