4. Zadatak

Neka su $a,b,c,d$ promatrani brojevi. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je $d$ najveći od njih. Iz $a+b+c+d=8$ i $a^2+b^2+c^2+d^2=40$ slijedi

$$a+b+c=8-d,\qquad a^2+b^2+c^2=40-d^2. \tag{*}$$

Kvadriramo li prvu jednakost i primijenimo drugu, dobivamo

$$\begin{aligned} (a+b+c)^2&=(8-d)^2,\\ a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)&=(8-d)^2,\\ 40-d^2+2(ab+bc+ca)&=64-16d+d^2,\\ ab+bc+ca&=12-8d+d^2. \tag{**} \end{aligned}$$

Poznato je da vrijedi

$$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca \tag{***}$$

(lako se dobije iz nejednakosti $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge0$). Primijenimo li u toj nejednakosti $(*)$ i $(**)$, dobivamo

$$\begin{aligned} a^2+b^2+c^2&\ge ab+bc+ca,\\ 40-d^2&\ge12-8d+d^2,\\ d^2-4d-14&\le0. \end{aligned}$$

Rješenja jednadžbe $d^2-4d-14=0$ su $d=2\pm3\sqrt2$, a rješenje gornje nejednadžbe je

$$d\in\left[2-3\sqrt2,2+3\sqrt2\right].$$

Najveći realan broj $d$ iz ovog intervala je $2+3\sqrt2$.

Treba još provjeriti postoje li pozitivni realni brojevi $a,b,c$ koji uz $d=2+3\sqrt2$ zadovoljavaju obje dane jednadžbe. Stavimo li

$$a=b=c=\frac{8-d}{3}=2-\sqrt2,$$

lako je provjeriti da je zaista

$$3(2-\sqrt2)^2+(2+3\sqrt2)^2=40.$$

Najveća moguća vrijednost jednog od promatranih brojeva je

$$2+3\sqrt2.$$

Napomena. Umjesto nejednakosti $(***)$ možemo primijeniti nejednakost između aritmetičke i kvadratne sredine:

$$\frac{a+b+c}{3}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}},$$

odnosno

$$(a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2).$$

Tada je

$$(8-d)^2\le3(40-d^2),$$

pa ponovno dobivamo $d^2-4d-14\le0$.