5. Zadatak

Nacrtajmo sliku:

Iz pravokutnog trokuta $ACE$ imamo $d^2=(2r)^2+(x+c)^2$. Dalje je $$x+c=|AE|=\frac a2+\frac c2=\frac{a+c}2.$$ Trapez je u ovom slučaju tangencijalni četverokut, pa u njemu vrijedi da je zbroj jednog para suprotnih stranica jednak zbroju drugog para suprotnih stranica. Zato je $x+c=\frac{2b}2=b$.

Dalje možemo uočiti da je $b\geq2r$, te je $$d^2=(2r)^2+b^2\geq(2r)^2+(2r)^2=8r^2.$$ Dakle, $d^2\geq8r^2$, pa je $d\geq2\sqrt2r$, što je i trebalo dokazati.