4. Zadatak

Jednadžbu možemo napisati u obliku: $$\left(x^3+\frac1{x^3}\right)+\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+\left(x+\frac1x\right)=6.$$ Iskoristit ćemo supstituciju: $t=x+\frac1x$. Onda je $$t^2=\left(x+\frac1x\right)^2=x^2+2+\frac1{x^2}\Longrightarrow x^2+\frac1{x^2}=t^2-2$$ $$t^3=\left(x+\frac1x\right)^3=x^3+3x+3\frac1x+\frac1{x^3}\Longrightarrow x^3+\frac1{x^3}=t^3-3t$$ Tako jednadžba prelazi u: $$t^3+t^2-2t-8=0.$$ Grupiranjem pogodnih članova dolazimo do sljedeće faktorizacije: $$\begin{aligned} t^3-8+t^2-2t&=0,\\ (t-2)(t^2+2t+4)+t(t-2)&=0,\\ (t-2)(t^2+3t+4)&=0 \end{aligned}$$ Zaključujemo da mora biti $t-2=0$ ili $t^2+3t+4=0$. Jednadžba $t^2+3t+4=0$ nema rješenja u skupu realnih brojeva.

Za $t-2=0$, odnosno $t=2$, dobivamo $$x+\frac1x=2\Longrightarrow x^2-2x+1=0$$ pa mora biti $x=1$.