3. Zadatak

Kako je

$$[x]-\{x\}=\frac1{\{x\}}-\frac1{[x]}=\frac{[x]-\{x\}}{[x]\cdot\{x\}},$$

jednadžbu možemo zapisati u obliku

$$([x]-\{x\})\left(1-\frac1{[x]\cdot\{x\}}\right)=0.$$

Odavde dobivamo:

$$(1)\qquad[x]=\{x\},\text{ ili}$$ $$(2)\qquad[x]\cdot\{x\}=1.$$

(1) je moguće samo ako je $[x]=\{x\}=0$, jer je $[x]\in\mathbb Z$, a $\{x\}\in[0,1\rangle$. No, tada dana jednakost nema smisla.

Iz (2) slijedi $[x]>0$, jer je $\{x\}\ge0$.

Zato je $[x]=n$, za neki $n\in\mathbb N$.

Zbog (2) je $\{x\}=\frac1n$,

pa mora biti $n>1$.

Danu jednadžbu zadovoljavaju svi brojevi $x=n+\frac1n$, $n\in\mathbb N$, $n\ge2$.