1. Zadatak

Neka je prvi član traženog niza $a$, razlika niza $d$, a broj članova niza $n$. Traženi niz je

$$a,\ a+d,\ a+2d,\ \ldots,\ a+(n-1)d,$$

i pritom je $n>2$. Prema uvjetima zadatka je:

$$(1)\qquad(a+(n-2)d)-a=24,$$ $$(2)\qquad\frac n2(2a+(n-1)d)=102,$$ $$(3)\qquad d=3a.$$

Sređivanjem prve jednadžbe dobivamo $(n-2)d=24$, odnosno, zbog (3),

$$(4)\qquad(n-2)a=8,$$

Iz (2) slijedi

$$(5)\qquad\frac n2(2a+3a(n-1))=102,\quad\text{odnosno}\quad na(3n-1)=204.$$

Iz (4) slijedi $a=\frac8{n-2}$, pa uvrštavanjem u (5) dobivamo kvadratnu jednadžbu $6n^2-53n+102=0$.

Njezina rješenja su $n_{1,2}=\frac{53\pm\sqrt{53^2-4\cdot6\cdot102}}{12}$, tj. $n_1=6$, $n_2=\frac{17}6$, a kako je $n$ prirodan broj, $n=6$,

i dalje je $a=2$, $d=6$,

pa je traženi niz 2, 8, 14, 20, 26, 32.