5. Zadatak

Zbrojimo prvu i treću jednadžbu i oduzmemo drugu pomnoženu s 2:

$$\begin{aligned} &(x^{2006}+y^{2006}+z^{2006})+(x^{2008}+y^{2008}+z^{2008})-2\cdot(x^{2007}+y^{2007}+z^{2007})\\ &=2+2-2\cdot2\\ &\Leftrightarrow(x^{2006}+x^{2008}-2\cdot x^{2007})+(y^{2006}+y^{2008}-2\cdot y^{2007})+(z^{2006}+z^{2008}-2\cdot z^{2007})=0\\ &\Leftrightarrow x^{2006}\cdot(x-1)^2+y^{2006}\cdot(y-1)^2+z^{2006}\cdot(z-1)^2=0. \end{aligned}$$

Zbroj nenegativnih izraza je jednak 0, pa je svaki od njih jednak 0. Zato je $x$, $y$, $z\in\{0,1\}$

Konačno rješenja sustava su $(x,y,z)\in\{(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)\}$.