4. Zadatak

Polumjer svake od polukružnica jednak je $12:6=2$.

Odredimo najprije površinu osjenčanoga kružnog odsječka prikazanoga na slici.

Udaljenost tetive kružnice $k$ (kojoj pripadaju točke $B$ i $C$) od središta $S$ jednaka je polumjeru polukružnice i iznosi $2$. Označimo s $\alpha$ pripadni kut kružnoga isječka kao na slici. Budući radijus kružnice $k$ iznosi $4$, vrijedi da je

$$\cos\frac\alpha2=\frac24=\frac12,$$

odnosno $\alpha=120^\circ$.

Tada je površina $P_1$ označenoga kružnog odsječka jednaka:

$$P_1=\frac{4^2\pi\cdot120^\circ}{360^\circ}-\frac{4\cdot4\cdot\sin120^\circ}{2}=\frac{16\pi}{3}-4\sqrt3.$$

Odredimo i površinu osjenčanoga dijela između polukružnica.

Površina dvaju osjenčanih dijelova sa slike jest $P_2=2(4^2-2^2\pi)=32-8\pi$.

Ukupna površina svih osjenčanih dijelova zadane kružnice $k$ jednaka je:

$$P_O=2P_1+P_2=2\left(\frac{16\pi}{3}-4\sqrt3\right)+32-8\pi=\frac83\pi+32-8\sqrt3.$$

Tražena vjerojatnost jednaka je omjeru osjenčane površine i površine kruga $k$, odnosno:

$$p=\frac{P_O}{P_k}=\frac{\frac83\pi+32-8\sqrt3}{16\pi}.$$