5. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $x$ i $y$, $x>y$, osnovice trapeza i neka je $h$ visina trapeza, a $p$ njegova površina.

Tada vrijedi da je

$$p=\frac{x+y}{2}\cdot h.$$

Dulja stranica okvira iznosi $2x+y$, a duljina njegove kraće stranice iznosi $x$. Dulja stranica slike iznosi $x+2y$, dok je duljina njezine kraće stranice jednaka $y$. Površina slike iznosi $P=y(x+2y)$.

Uočimo da vrijedi da je $2x+y=x+2y+2h$, odnosno da je

$$h=\frac{x-y}{2}.$$

Za površinu trapeza tada vrijedi da je

$$p=\frac{x+y}{2}\cdot\frac{x-y}{2}=\frac{(x+y)(x-y)}{4}.$$

Promotrimo umnožak $(x+y)(x-y)=4p$.

Kako su $x$, $y$ i $p$ prirodni brojevi, umnožak $(x+y)(x-y)$ mora biti paran broj. Kako su brojevi $x+y$ i $x-y$ iste parnosti, možemo zaključiti da oba moraju biti parna. Uočimo također da je $x-y<x+y$.

1. slučaj: $p=2$

Tada je $(x+y)(x-y)=8$, odnosno $x+y=4$ i $x-y=2$. Tada je $x=3$, $y=1$ te je površina slike $P=1\cdot(3+2)=5$ kvadratnih jedinica.

2. slučaj: $p$ prost broj veći od dva

U ovome je slučaju $p$ neparan broj, a kako su faktori $x+y$ i $x-y$ prema prethodnome zaključku oba parni brojevi, mora vrijediti da je jedan od njih jednak $2$, a drugi $2p$. Uzmemo li u obzir da je $x-y<x+y$, očito vrijedi $x-y=2$ i $x+y=2p$.

Rješavanjem dobivenoga sustava jednadžbi dobivamo da je $x=p+1$, a $y=p-1$. Površina slike tada je jednaka $P=y(x+2y)=(p-1)(3p-1)$.

Za $p=3$ površina slike iznosi $P=2\cdot8=16$ kvadratnih jedinica.

Za $p=5$ površina slike iznosi $P=4\cdot14=56$ kvadratnih jedinica.

Za $p=7$ površina slike iznosi $P=6\cdot20=120$ kvadratnih jedinica.

Za $p=11$ površina slike iznosi $P=10\cdot32=320>200$ kvadratnih jedinica.

Budući da površina slike mora biti manja od $200$ kvadratnih jedinica, zaključujemo da je najveća moguća površina jednaka $120$ kvadratnih jedinica.

Drugo rješenje.

Budući su zadani trapezi sukladni i jednakokračni, a zbroj veličina dvaju šiljastih kutova uz osnovicu jednak je $90^\circ$, možemo zaključiti da su šiljasti kutovi trapeza veličine $45^\circ$.

Označimo s $x$ visinu trapeza, a s $y$ duljinu njegove kraće osnovice kao na slici. Tada je duljina veće osnovice trapeza jednaka $2x+y$.

Površina pojedinoga trapeza tada iznosi

$$p=\frac{2x+y+y}{2}\cdot x=(x+y)\cdot x.$$

Površina trapeza prost je broj, a $x$ i $y$ prirodni su brojevi, znači da mora vrijediti da je $x=1$.

Površina trapeza tada je jednaka $p=y+1$.

Površina slike iznosi $P=y\cdot(y+2x+y+y)=y(3y+2)=3y^2+2y$.

Mora vrijediti da je $3y^2+2y<200$, pri čemu je $y$ prirodan broj. Navedena nejednakost zadovoljena je za $y\in\{1,2,3,4,5,6,7\}$.

Kako broj $y+1$ mora biti prost, zaključujemo da $y$ može poprimiti neku od vrijednosti $1$, $2$, $4$ ili $6$. Za $y=6$ slika je najveće površine koja iznosi $P=3\cdot36+2\cdot6=120$ kvadratnih jedinica.