3. Zadatak

Dvije jednake posude od po $30$ litara sadrže ukupno $30$ litara svježe cijeđenoga soka od naranče. U prvu posudu dolijemo vode do vrha, a zatim dobivenom mješavinom soka i vode napunimo drugu posudu do vrha. Potom u prvu posudu prelijemo $12$ litara nove mješavine soka i vode iz druge posude. Sada je u drugoj posudi $2$ litre svježe cijeđenoga soka manje nego u prvoj posudi. Koliko je soka bilo u pojedinoj posudi na početku?

Neka je $c$ udio soka u $x$ litara mješavine.

prelijevanje	prva posuda		druga posuda
prelijevanje	udio soka	količina /L	udio soka	količina /L
početak	$c_0=1$	$x$	$c_0=1$	$30-x$
$1.$	$c_1=\dfrac{x}{30}$	$30$	$c_0=1$	$30-x$
$2.$	$c_1=\dfrac{x}{30}$	$30-x$	$c_2=\dfrac{c_0(30-x)+c_1x}{30}$	$30$
$3.$	$c_3=\dfrac{c_1(30-x)+12c_2}{42-x}$	$42-x$	$c_2=\dfrac{30-x+c_1x}{30}$	$18$

Nakon svih prelijevanja količina soka u prvoj posudi iznosi $c_3(42-x)=c_1(30-x)+12c_2$ , a u drugoj posudi $c_2\cdot18=18c_2$ .

Prema uvjetima zadatka, za konačnu količinu soka vrijedi:

\begin{aligned} c_1(30-x)+12c_2&=2+18c_2\\ c_1(30-x)&=2+6c_2\\ \frac{x}{30}(30-x)&=2+6\cdot\frac{30-x+c_1x}{30}\\ x(30-x)&=60+6\left(30-x+\frac{x}{30}\cdot x\right)\\ 30x-x^2&=60+180-6x+\frac{x^2}{5}\\ x^2-30x+200&=0\\ x_1&=10\qquad x_2=20. \end{aligned}

U prvoj posudi ne može biti $10$ litara soka jer bi tada po završetku prelijevanja u prvoj posudi bile $32$ L smjese.

Prema tome, u prvoj je posudi na početku bilo $20$ L, a u drugoj $10$ L soka od naranče.