4. Zadatak

Primijenimo li formulu za sinus dvostrukog broja, jednadžba postaje

$$\sin x\cos x+1=\sin x+\cos x.$$

Ako sve članove prebacimo na lijevu stranu i faktoriziramo, slijedi

$$\begin{aligned} \sin x\cos x-\sin x-\cos x+1&=0,\\ \sin x(\cos x-1)-(\cos x-1)&=0,\\ (\sin x-1)(\cos x-1)&=0. \end{aligned}$$

To znači da je $\sin x=1$ ili $\cos x=1$.

Rješenja prve jednadžbe su

$$x_1=\frac\pi2+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z,$$

a druge

$$x_2=2m\pi,\qquad m\in\mathbb Z.$$

Na skupu $[0,2\pi\rangle$ dana jednadžba ima $2$ rješenja $x=0$ i $x=\frac\pi2$, pa će zbog periodičnosti na skupu $[0,2020\pi\rangle$ imati $2\cdot1010=2020$ rješenja, a na skupu $[0,2020\pi]$ točno $2021$ rješenje.