6. Zadatak

Prvo rješenje.

Površina peterokuta jednaka je zbroju površina triju trokuta. Uz oznake kao na slici vrijedi

$$\begin{aligned} P(AA'BB'C) &=P(CAA')+P(CA'B)+P(CBB')\\ &=\frac12b\cdot b\sin30^\circ +\frac12a\cdot b\sin60^\circ +\frac12a\cdot a\sin30^\circ\\ &=\frac14b^2+\frac14\cdot2b^2\sqrt3+\frac14\cdot4b^2\\ &=\frac{5+2\sqrt3}{4}b^2. \end{aligned}$$

Sada iz

$$\frac{5+2\sqrt3}{4}b^2=20+8\sqrt3$$

slijedi $b^2=16$, odnosno $b=4$ i $a=8$.

Drugo rješenje.

$$P(AA'BB'C)=P(CAA')+P(CA'B)+P(CBB').$$

Trokut $CDA'$ je polovica jednakostraničnog trokuta stranice duljine $b$ iz čega slijedi $|A'D|=\frac12b$. Zato je

$$P(CAA')=\frac12b\cdot\frac b2=\frac14b^2.$$

Analogno, kako je trokut $BEC$ pola jednakostraničnog trokuta stranice duljine $2b$, dobivamo

$$P(BB'C)=\frac12\cdot2b\cdot b=b^2.$$

Trokuti $CA'B$ i $BEC$ su sukladni (SKS: $b$, $60^\circ$, $2b$) pa je

$$P(CA'B)=P(BEC)=\frac12\cdot\frac{(2b)^2\sqrt3}{4} =\frac{b^2\sqrt3}{2}.$$

Iz zadanog uvjeta slijedi

$$P(CAA')+P(CA'B)+P(CBB')=20+8\sqrt3,$$

odnosno

$$\frac14b^2+b^2+\frac{\sqrt3}{2}b^2=20+8\sqrt3.$$

Tada je

$$5b^2+2b^2\sqrt3=80+32\sqrt3,$$

te konačno $b^2=16$.

Duljine kateta zadanog trokuta su $4$ i $8$.