7. Zadatak

Očito mora biti $\cos t>0$ i $\sin t\neq0$.

Da bi promatrana kvadratna jednadžba imala jedno rješenje, njena diskriminanta mora biti jednaka $0$, odnosno treba biti

$$\left(\frac{2}{\sqrt{\cos t}}\right)^2 -4\left(\frac{1}{\sin t}-2\sqrt2\right)=0.$$

Sređivanjem dobivamo

$$\frac4{\cos t}-\frac4{\sin t}=-8\sqrt2.$$

Množimo s nazivnikom i preuredimo pa je

$$\cos t-\sin t=\sqrt2\sin2t.$$

Pomnožimo s $\frac{\sqrt2}{2}$ i primijenimo adicijsku formulu:

$$\sin\left(\frac\pi4-t\right)=\sin2t.$$

Rješavanjem ove jednadžbe dobivamo

$$\frac\pi4-t=2t+2k\pi \qquad\text{ili}\qquad \frac\pi4-t=\pi-2t+2k\pi,$$ $$3t=\frac\pi4-2k\pi \qquad\text{ili}\qquad t=\pi-\frac\pi4+2k\pi,$$ $$t=\frac\pi{12}-\frac{2k\pi}{3} \qquad\text{ili}\qquad t=\frac{3\pi}{4}+2k\pi.$$

Ni za jedno od dobivenih rješenja $\sin t$ nije nula, ali pozitivan kosinus imaju samo rješenja

$$t=\frac\pi{12}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z,$$

pa su to tražene vrijednosti.