2. Zadatak

Budući da je period funkcije kosinus bilo koji paran cjelobrojni višekratnik broja $\pi$ vrijedi da je $\cos\left(x-2^{2026}\pi\right)=\cos x$.

Također, $\sin(x-2025\pi)=\sin(x-2025\pi+2026\pi)=\sin(x+\pi)=-\sin x$.

Iz $\sin^2x+\cos^2x=1$ slijedi $\cos^2x=1-\frac9{25}$, odnosno $\cos^2x=\frac{16}{25}$.

Budući da je $-\frac\pi2<x<0$ slijedi da je $\cos x=\frac45$.

Nadalje, dobivamo da je $\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac34$ i $\operatorname{ctg}x=\frac1{\operatorname{tg}x}=-\frac43$.

Konačno dobivamo

$$\frac{\operatorname{tg}x+\cos\left(x-2^{2026}\pi\right)} {\operatorname{ctg}x+\sin(x-2025\pi)} =\frac{\operatorname{tg}x+\cos x}{\operatorname{ctg}x-\sin x} =\frac{-\frac34+\frac45}{-\frac43+\frac35} =-\frac3{44}.$$