7. Zadatak

Četverokut $ABCD$ tetivni je, pa je zbroj mjera njegovih nasuprotnih kutova jednak $180^\circ$ i mjera kuta pri vrhu $D$ iznosi $60^\circ$.

Trokutu $ABC$ je opisana kružnica polumjera $R=4\ \mathrm{cm}$, pa je prema poučku o sinusima $|AC|=2R\sin120^\circ=4\sqrt3\ \mathrm{cm}$.

Primijenimo li poučak o kosinusu na trokut $ACD$ dobivamo

$$|AC|^2=|AD|^2+|CD|^2-2\cdot|AD|\cdot|CD|\cos60^\circ.$$

Uvrštavanjem $|AC|=4\sqrt3\ \mathrm{cm}$ i $|AD|=6\ \mathrm{cm}$ dobivamo kvadratnu jednadžbu

$$|CD|^2-6|CD|-12=0.$$

Jedino pozitivno rješenje te jednadžbe je $|CD|=3+\sqrt{21}\ \mathrm{cm}$.

Analogno, primijenimo li poučak o kosinusu na trokut $ABC$ dobivamo

$$|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2|AB|\cdot|BC|\cos120^\circ.$$

Uvrštavanjem $|AC|=4\sqrt3\ \mathrm{cm}$ i $|BC|=3\ \mathrm{cm}$ dobivamo kvadratnu jednadžbu

$$|AB|^2+3|AB|-39=0,$$

čije je jedino pozitivno rješenje $|AB|=\frac{-3+\sqrt{165}}2\ \mathrm{cm}$.

Napomena: Učenik može koristeći poučak o obodnom i središnjem kutu zaključiti da je kut pri točki $S$ u trokutu $ACS$ jednak $120^\circ$.

Nadalje, budući da je trokut $ACS$ jednakokračan slijedi da je $\sin60^\circ=\frac{|AC|}{2R}$, odakle dobivamo $|AC|=2R\sin60^\circ=4\sqrt3\ \mathrm{cm}$.