6. Zadatak

Zbog definicije logaritamske funkcije vrijede sljedeći uvjeti: $x>0$, $x\neq1$, $y>0$, $y\neq1$, $x-14y>0$, $x-8y>0$, odnosno $x,y\in\langle0,+\infty\rangle\setminus\{1\}$, $x>14y$.

Promjenom baze logaritma u prvoj jednadžbi dobivamo $\log_xy=\frac1{\log_xy}$, odnosno $(\log_xy)^2=1$, odakle slijedi $\log_xy=\pm1$.

Iz $\log_xy=1$ slijedi $y=x$ što nije moguće jer nije zadovoljen uvjet $x>14y$.

Iz $\log_xy=-1$ slijedi $y=\frac1x$.

Uvrštavanjem $y=\frac1x$ u drugu jednadžbu dobivamo sljedeći niz jednakosti:

$$\begin{aligned} \log_x\left(x-\frac{14}{x}\right) &=\log_{\frac1x}\left(x-\frac8x\right)\\ \log_x\left(\frac{x^2-14}{x}\right) &=-\log_x\left(\frac{x^2-8}{x}\right)\\ \log_x\left(\frac{x^2-14}{x}\cdot\frac{x^2-8}{x}\right)&=0\\ (x^2-14)(x^2-8)&=x^2\\ x^4-23x^2+112&=0. \end{aligned}$$

Uz supstituciju $x^2=t$ bikvadratnu jednadžbu $x^4-23x^2+112=0$ svodimo na kvadratnu jednadžbu $t^2-23t+112=0$, čija su rješenja $t_1=16$ i $t_2=7$.

Iz $x^2=16$ i uvjeta $x>0$ dobivamo $x=4$, te analogno iz $x^2=7$ dobivamo $x=\sqrt7$.

Iz $x=4$ dobivamo $y=\frac14$, a iz $x=\sqrt7$ slijedi $y=\frac{\sqrt7}{7}$.

Par $\left(\sqrt7,\frac{\sqrt7}{7}\right)$ ne zadovoljava uvjet $x>14y$, te je jedino rješenje par $\left(4,\frac14\right)$.

Napomena: Analogno se može svoditi na logaritme po drugim bazama, npr. bazu $10$.