5. Zadatak

Korištenjem osnovne relacije među trigonometrijskim funkcijama $\sin^2x+\cos^2x=1$ i sređivanjem zadanog izraza dobivamo:

$$\begin{aligned} 5\sin^2x-3\cos^2x-2\sin x &=5\sin^2x-3(1-\sin^2x)-2\sin x\\ &=8\sin^2x-2\sin x-3. \end{aligned}$$

Uz supstituciju $\sin x=t$ možemo promatrati funkciju $f(t)=8t^2-2t-3$ za $t\in[-1,1]$.

Kako je vodeći koeficijent pozitivan, funkcija $f$ postiže najmanju vrijednost za

$$t=-\frac{b}{2a}=\frac18.$$

Budući da je $\frac18\in[-1,1]$, najmanja vrijednost funkcije $f$ iznosi

$$\frac{4ac-b^2}{4a} =\frac{4\cdot8\cdot(-3)-4}{32} =-\frac{100}{32} =-\frac{25}{8}.$$

Budući da promatramo kvadratnu funkciju na intervalu $[-1,1]$, najveća vrijednost se postiže u jednom od rubova intervala.

Računajući $f(1)=3$ i $f(-1)=7$ zaključujemo da je najveća vrijednost koju može poprimiti dani izraz jednaka $7$.

Napomena: Budući da je graf kvadratne funkcije $f(t)=8t^2-2t-3$ simetričan s obzirom na pravac $t=\frac18$, te da je točka s apscisom $-1$ udaljenija od osi simetrije nego točka s apscisom $1$, bez uvrštavanja zaključujemo da se najveća vrijednost postiže za $t=-1$.