1. Zadatak

Rješenja $x$ i $y$ zadatka moraju biti pozitivni realni brojevi različiti od 1. Uočimo da je

$$\log_x225=\frac{1}{\log_{225}x}\quad\text{i}\quad\log_y64=\frac{1}{\log_{64}y}.$$

Uvedemo li zamjene $\log_{225}x=m$ i $\log_{64}y=n$, sustav prelazi u

$$\begin{cases} m+n=4\\ \frac1m-\frac1n=1. \end{cases}$$

Iz prve jednadžbe izrazimo $m$ i uvrstimo u drugu jednadžbu. Dobijemo

$$\begin{aligned} \frac1{4-n}-\frac1n&=1\\ n-(4-n)&=4n-n^2\\ n^2-2n-4&=0. \end{aligned}$$

Rješenja posljednje jednadžbe i pripadni $m_1,m_2$ su:

$$n_1=1-\sqrt5,\quad n_2=1+\sqrt5,$$

odnosno

$$m_1=3+\sqrt5,\quad m_2=3-\sqrt5.$$

Izračunajmo sad $x=225^m$ i $y=64^n$. Imamo

$$a=x_1=225^{3+\sqrt5},\quad b=y_1=64^{1-\sqrt5},\quad c=x_2=225^{3-\sqrt5}\quad\text{i}\quad d=y_2=64^{1+\sqrt5},$$

pa je konačno rješenje

$$\begin{aligned} \log_{30}(abcd)&=\log_{30}\left(225^{3+\sqrt5}\cdot64^{1-\sqrt5}\cdot225^{3-\sqrt5}\cdot64^{1+\sqrt5}\right)\\ &=\log_{30}(225^6\cdot64^2)\\ &=\log_{30}(15^{12}\cdot2^{12})=\log_{30}30^{12}=12. \end{aligned}$$