Ako su a,b,c duljine stranica trokuta, α,β,γ njima nasuprotni kutovi i R polumjer trokutu opisane kružnice, dokažite da vrijedi
a2+b2+c2=8R2(1+cosαcosβcosγ).Rješenje
Iz poučka o sinusu slijedi
abc=2Rsinα⇒a2=4R2sin2α=2Rsinβ⇒b2=4R2sin2β=2Rsinγ⇒c2=4R2sin2γ.
Sada imamo
a2+b2+c2=4R2(sin2α+sin2β+sin2γ)=2R2(1−cos2α+1−cos2β+1−cos2γ)=2R2(3−(cos2α+cos2β+cos2γ))=2R2(3−[cos2α+cos2β+cos(2α+2β)])=2R2(3−[2cos(α+β)cos(α−β)+2cos2(α+β)−1])=2R2(4−2cos(α+β)[cos(α−β)+cos(α+β)])=2R2(4−4cos(α+β)cosαcosβ)=8R2(1−cos(π−γ)cosαcosβ)=8R2(1+cosαcosβcosγ).