4. Zadatak

Nad stranicama pravokutnog trokuta kojemu su $a,b$ duljine kateta, konstruirani su prema van kvadrati. Izračunajte (u ovisnosti o $a$ i $b$ ) površinu trokuta kojemu su vrhovi u središtima konstruiranih kvadrata.

Rješenje

Prvo rješenje.

Službeni crtež prvog rješenja

Treba izračunati površinu trokuta $MNP$ . Duljina stranice $MN$ iznosi

|MN|=|MC|+|CN|=\frac{a\sqrt2+b\sqrt2}{2}.

Trokuti $ATA_1$ i $BCA$ su sukladni ( $|AB|=|AA_1|$ , $\angle A_1AT=\angle ABC$ , oba trokuta su pravokutna).

Tada je $PP_1$ srednjica trapeza $CTA_1B$ i vrijedi $|PP_1|=\frac{a+b}{2}$ , a s druge strane je i

|CP_1|=\frac12|CT|=\frac12(a+b).

Pravokutnom trokutu $CP_1P$ su dvije stranice jednake, te su njihovi nasprotni kutevi jednaki $45^\circ$ . Zaključujemo da je $\angle PCN=90^\circ$ (jer je zbroj dva kuta od $45^\circ$ ), a $PC$ je visina trokuta $MNP$ . Tada je površina trokuta $MNP$ jednaka

P=\frac{|MN|\cdot|PC|}{2}=\frac12\cdot\frac{a\sqrt2+b\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2(a+b)}{2}=\frac{(a+b)^2}{4}.

Drugo rješenje.

Smjestimo dani trokut i konstruirane kvadrate u koordinatni sustav tako da je ishodište koordinatnog sustava u vrhu $C$ , vrh $A$ na osi $x$ , a vrh $B$ na osi $y$ . Kao i u prvom rješenju treba prvo pokazati da je $PP_1$ srednjica trapeza $CTA_1B$ .

Tada su koordinate vrhova $M,N$ i $P$ sljedeće:

M\left(-\frac a2,\frac a2\right),\quad N\left(\frac b2,-\frac b2\right),\quad P\left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2}\right).

Površina trokuta iznosi

\begin{aligned} P&=\frac12\left|\frac b2\left(\frac a2-\frac{a+b}{2}\right)-\frac a2\left(\frac{a+b}{2}+\frac b2\right)+\frac{a+b}{2}\left(-\frac a2-\frac b2\right)\right|\\ &=\frac18\left|2(a^2+b^2+2ab)\right|=\frac{(a+b)^2}{4}. \end{aligned}