3. Zadatak

Prvo rješenje.

Rastuća linearna funkcija $h$ pozitivna je na intervalu $\langle1,+\infty\rangle$, a negativna na intervalu $\langle-\infty,1\rangle$.

Odredimo predznake funkcija $f$, $g$ i $h$ na svakome pojedinom intervalu.

Interval	$f$	$g$	$h$	$\frac{f\cdot g}{h}$
$\langle-\infty,-2\rangle$	$-$	$+$	$-$	$+$
$\langle-2,0\rangle$	$+$	$+$	$-$	$-$
$\langle0,1\rangle$	$+$	$-$	$-$	$+$
$\langle1,3\rangle$	$+$	$-$	$+$	$-$
$\langle3,5\rangle$	$-$	$-$	$+$	$+$
$\langle5,+\infty\rangle$	$-$	$+$	$+$	$-$

Zaključujemo da je $\frac{f(x)\cdot g(x)}{h(x)}>0$ za $x\in\langle-\infty,-2\rangle\cup\langle0,1\rangle\cup\langle3,5\rangle$.

Drugo rješenje.

Skicirajmo grafove funkcija $f$, $g$ i $h$.

Umnožak $f(x)\cdot g(x)$ pozitivan je ako su vrijednosti funkcija $f(x)$ i $g(x)$ obje pozitivne ili obje negativne, a to se postiže za $x\in\langle-2,0\rangle\cup\langle3,5\rangle$. Zaključujemo da je umnožak $f(x)\cdot g(x)$ negativan za $x\in\langle-\infty,-2\rangle\cup\langle0,1\rangle\cup\langle5,+\infty\rangle$.

Rastuća linearna funkcija $h$ pozitivna je na intervalu $\langle1,+\infty\rangle$, a negativna na intervalu $\langle-\infty,1\rangle$.

Vrijedi da je $\frac{f(x)\cdot g(x)}{h(x)}>0$ ako su umnožak $f(x)\cdot g(x)$ i funkcija $h(x)$ istovremeno pozitivni ili istovremeno negativni. Kako su $f(x)\cdot g(x)$ i $h(x)$ pozitivni za $x\in\langle3,5\rangle$, a negativni za $x\in\langle-\infty,-2\rangle\cup\langle0,1\rangle$, zaključujemo da je $\frac{f(x)\cdot g(x)}{h(x)}>0$ za $x\in\langle-\infty,-2\rangle\cup\langle0,1\rangle\cup\langle3,5\rangle$.