6. Zadatak

Skicirajmo najprije zadani kvadrat $ABCD$ stranice duljine $a$, u slučaju da je točka $O$ izvan kvadrata.

Iz jednakosti duljina dužina $|OA|=|OB|=5$ cm zaključujemo da je trokut $ABO$ jednakokračan s osnovicom $\overline{AB}$, što znači da se točka $O$ nalazi na simetrali stranice $\overline{AB}$.

Neka je točka $E$ sjecište simetrale i stranice $\overline{CD}$, a točka $F$ sjecište simetrale i stranice $\overline{AB}$. Uočimo da su točke $E$ i $F$ polovišta stranica kvadrata kojima pripadaju, odnosno, vrijedi da je $|AF|=|DE|=\frac a2$.

Kako je $|OD|=\sqrt{13}$ cm $<|OA|$, zaključujemo da se točka $O$ nalazi na simetrali izvan kvadrata bliže stranici $\overline{CD}$ nego stranici $\overline{AB}$.

Označimo $|OE|=x$ cm.

Za duljine stranica pravokutnoga trokuta $DEO$ vrijedi $\left(\frac a2\right)^2+x^2=\sqrt{13}^{,2}$, odnosno

$$\frac{a^2}{4}+x^2=13.$$

Za duljine stranica pravokutnoga trokuta $AFO$ vrijedi $\left(\frac a2\right)^2+(x+a)^2=5^2$, odnosno

$$\frac{a^2}{4}+x^2+2ax+a^2=25.$$

Riješimo sustav jednadžbi.

$$\begin{cases} \frac{a^2}{4}+x^2=13,\\ \frac{a^2}{4}+x^2+2ax+a^2=25. \end{cases}$$ $$\begin{aligned} 13+2ax+a^2&=25\\ 2ax&=12-a^2\quad /:2a\\ x&=\frac{12-a^2}{2a}=\frac6a-\frac a2. \end{aligned}$$

Uvrštavanjem $x$ u gornju jednadžbu u sustavu dobivamo da je:

$$\begin{aligned} \frac{a^2}{4}+\left(\frac6a-\frac a2\right)^2&=13\\ \frac{a^2}{2}-19+\frac{36}{a^2}&=0\quad /\cdot2a^2\\ a^4-38a^2+72&=0\\ (a^2-2)(a^2-36)&=0. \end{aligned}$$

1. slučaj: $a^2=2$, stranica kvadrata duljine je $a=\sqrt2$ cm.

Tada je $x=\frac{12-2}{2\sqrt2}=\frac{10}{2\sqrt2}=\frac{5\sqrt2}{2}$ cm.

2. slučaj: $a^2=36$, stranica kvadrata duljine je $a=6$ cm.

Tada je $x=\frac{12-36}{12}=\frac{-24}{12}=-2$ cm, što je nemoguće jer duljina stranice trokuta ne može biti negativan broj.

Zaključujemo da tražena duljina stranice iznosi $\sqrt2$ cm.

U slučaju da je točka $O$ unutar kvadrata, duljina $|OF|=a-x$, ali se analognim postupkom dolazi do iste konačne jednadžbe. Iz te jednadžbe proizlaze ista rješenja, ali se pri odabiru duljine stranice kvadrata uzima $6$ cm.