7. Zadatak

Prvo rješenje.

Nacrtajmo graf funkcije $f(x)=-\frac14x^2+3x-2$.

Odredimo najprije koordinate njezina tjemena.

$$x_T=-\frac{b}{2a}=6,\qquad y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}=7.$$

Tjeme funkcije $f$ točka je $T(6,7)$.

Odredimo nekoliko točaka koje pripadaju grafu funkcije $f$ pa skicirajmo traženi graf.

$x$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$
$f(x)$	$-2$	$3$	$6$	$7$	$6$	$3$	$-2$

U istome koordinatnom sustavu nacrtajmo i graf funkcije $g(x)=|2x-4|-6$.

U tablici su prikazane izračunate vrijednosti funkcije $g$ za neke argumente $x$.

$x$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
$g(x)$	$6$	$2$	$-2$	$-6$	$-2$	$2$	$6$

Točka minimuma funkcije $g$ je $(2,-6)$.

Sjecišta grafova funkcija $f$ i $g$ točke su koje pripadaju i jednome i drugome grafu, a to su točke s koordinatama $(0,-2)$ i $(8,6)$.

Skicirajmo trokut s vrhovima $(2,-6)$, $(0,-2)$ i $(8,6)$ te mu odredimo površinu.

Površina trokuta iznosi:

$$P=12\cdot8-\frac{8\cdot8}{2}-\frac{12\cdot6}{2}-\frac{4\cdot2}{2}=24$$

kvadratne jedinice.

Drugo rješenje.

Koordinate sjecišta funkcija $f(x)=-\frac14x^2+3x-2$ i $g(x)=|2x-4|-6$ mogu se odrediti rješavanjem jednadžbe $f(x)=g(x)$.

$$-\frac14x^2+3x-2=|2x-4|-6.$$

1. slučaj: za $2x-4\ge0$, odnosno $x\ge2$:

$$\begin{aligned} -\frac14x^2+3x-2&=2x-4-6\\ -\frac14x^2-x-8&=0\quad /\cdot4\\ x^2-4x-32&=0\\ (x-8)(x+4)&=0. \end{aligned}$$

Rješenje ove jednadžbe samo je $x=8$ (jer $x=-4$ ne zadovoljava uvjet $x\ge2$).

$f(8)=g(8)=6$

Koordinate jednoga sjecišta su $(8,6)$.

2. slučaj: za $2x-4<0$, odnosno $x<2$:

$$\begin{aligned} -\frac14x^2+3x-2&=-2x+4-6\\ \frac14x^2-5x&=0\quad /\cdot4\\ x^2-20x&=0\\ x(x-20)&=0. \end{aligned}$$

Rješenje ove jednadžbe samo je $x=0$ (jer $x=20$ ne zadovoljava uvjet $x<2$).

$f(0)=g(0)=-2$

Koordinate drugoga sjecišta su $(0,-2)$.

Kako je $g(x)=|2x-4|-6\ge0-6=-6$ za svaki realni broj $x$, zaključujemo da je $-6$ minimum funkcije $g$. Kako bismo odredili $x$ za koji se taj minimum postiže, riješimo jednadžbu $g(x)=-6$.

$$|2x-4|-6=-6,\qquad |2x-4|=0\Rightarrow2x-4=0\Rightarrow x=2.$$

Točka minimuma funkcije $g$ jest $(2,-6)$.

Konačno, odredimo površinu trokuta s vrhovima $(2,-6)$, $(0,-2)$ i $(8,6)$ kao u prvome načinu rješavanja: $P=24$ kvadratne jedinice.

Površina trokuta može se izračunati koristeći formulu sa zadanim koordinatama vrhova:

$$P=\frac12|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac12|32+0+16|=24$$

kv. jedinice.