4. Zadatak

Prvo rješenje.

Skicirajmo trokut i označimo sve zadane elemente.

Trokuti $ABC$ i $EBD$ slični su po KK poučku o sličnosti jer imaju dva para sukladnih kutova ($\angle BAC=\angle DEB$, $\angle CBA$ im je zajednički).

Koeficijent sličnosti tih trokuta iznosi $k=\frac{|AB|}{|BE|}=\frac{10}{8}=\frac54$.

Površinu trokuta $EBD$ računamo koristeći Heronovu formulu:

$$P(\triangle EBD)=\sqrt{10(10-8)(10-7)(10-5)}=\sqrt{10\cdot2\cdot3\cdot5}=10\sqrt3\text{ cm}^2.$$

Za površine sličnih trokuta vrijedi da je $\frac{P(\triangle ABC)}{P(\triangle EBD)}=k^2$.

Površina trokuta $ABC$ iznosi:

$$P(\triangle ABC)=P(\triangle EBD)\cdot k^2=10\sqrt3\cdot k^2=10\sqrt3\cdot\frac{25}{16}=\frac{125\sqrt3}{8}\text{ cm}^2.$$

Površina četverokuta $ADEC$ iznosi:

$$P(ADEC)=P(\triangle ABC)-P(\triangle EBD)=\frac{125\sqrt3}{8}-10\sqrt3=\frac{45\sqrt3}{8}\text{ cm}^2.$$

Drugo rješenje.

Skicirajmo trokut i označimo sve zadane elemente kao u prvome rješenju.

Prema poučku o kosinusu vrijedi da je

$$\cos\alpha=\frac{8^2+5^2-7^2}{2\cdot5\cdot8}=\frac{40}{80}=\frac12,$$

iz čega slijedi da je $\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac12\right)^2}=\frac{\sqrt3}{2}$.

Površina trokuta $EBD$ iznosi:

$$P(\triangle EBD)=\frac12\cdot|DE|\cdot|BE|\cdot\sin\alpha=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3\text{ cm}^2.$$

Trokuti $ABC$ i $EBD$ slični su po KK poučku o sličnosti jer imaju dva para sukladnih kutova ($\angle BAC=\angle DEB$, $\angle CBA$ im je zajednički).

Zbog sličnosti vrijedi $\frac{|AC|}{10}=\frac58$ pa je $|AC|=\frac{25}{4}$ cm.

Površina trokuta $ABC$ iznosi:

$$P(\triangle ABC)=\frac12\cdot10\cdot\frac{25}{4}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{125\sqrt3}{8}\text{ cm}^2.$$

Površina četverokuta $ADEC$ iznosi:

$$P(ADEC)=P(\triangle ABC)-P(\triangle EBD)=\frac{125\sqrt3}{8}-10\sqrt3=\frac{45\sqrt3}{8}\text{ cm}^2.$$