5. Zadatak

Za neki odabir $6$ različitih znamenki Mare je mogla ispisati ukupno $6!=720$ brojeva.

Označimo s $a,b,c,d,e$ i $f$ šest odabranih znamenki iz skupa $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. U ispisu brojeva svaka se od tih znamenki pojavila na mjestu znamenke stotisućica, desettisućica, tisućica, stotica, desetica i jedinica, točno $720/6=120$ puta. Primjerice, ako je broj $a$ na mjestu jedinica, preostale znamenke možemo rasporediti na $5!=120$ načina.

Tada je zbroj svih zapisanih brojeva jednak

$$\begin{aligned} S={}&120(a+b+c+d+e+f)\cdot100000+120(a+b+c+d+e+f)\cdot10000\\ &+120(a+b+c+d+e+f)\cdot1000+120(a+b+c+d+e+f)\cdot100\\ &+120(a+b+c+d+e+f)\cdot10+120(a+b+c+d+e+f)\\ ={}&120(a+b+c+d+e+f)\cdot111111. \end{aligned}$$

Rastavimo li broj $120$ i broj $111111$ na proste faktore slijedi

$$S=2^3\cdot3\cdot5(a+b+c+d+e+f)\cdot3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37.$$

Zbroj znamenki $a+b+c+d+e+f$ je broj koji mora biti manji ili jednak broju $3+4+5+6+7+8=33$, pa je najveći prosti faktor koji bi taj izraz mogao generirati jednak $31$.

Zaključujemo da je $37$ najveći prosti djelitelj zbroja $S$.