3. Zadatak

Iz $f(f(x))=4x+9$ i $f(x)=ax+b$, $a>0$ slijedi $f(ax+b)=4x+9$, odnosno $a(ax+b)+b=4x+9$ te

$$a^2x+ab+b=4x+9.$$

Polinomi su jednaki ako su im koeficijenti uz iste potencije jednaki, pa je $a^2=4$, $ab+b=9$. Budući da je $a>0$, slijedi $a=2$, $b=3$.

Tada je $f(p-1)=2(p-1)+3=2p+1$ pa prema binomnoj formuli redom slijedi:

$$\begin{aligned} (f(p-1))^n=(2p+1)^n &=(2p)^n+\binom n1(2p)^{n-1}+\binom n2(2p)^{n-2}+\cdots\\ &\quad+\binom n{n-2}(2p)^2+\binom n{n-1}(2p)+\binom nn\\ &=(2p)^n+\binom n1(2p)^{n-1}+\binom n2(2p)^{n-2}+\cdots\\ &\quad+\binom n{n-2}(2p)^2+2np+1. \end{aligned}$$

Tada je dani izraz jednak

$$\begin{aligned} (f(p-1))^n-(2np+1) &=(2p)^n+\binom n1(2p)^{n-1}+\binom n2(2p)^{n-2}+\cdots\\ &\quad+\binom n{n-2}(2p)^2+2np+1-(2np+1)\\ &=p^2\left(2^np^{n-2}+\binom n1 2^{n-1}p^{n-3}+\cdots+\binom n{n-2}2^2\right), \end{aligned}$$

što je djeljivo s $p^2$.