2. Zadatak

Zbroj prvih $n$ članova geometrijskog niza računamo po formuli

$$S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1},\qquad q\neq1.$$

Iz zadanih zbrojeva u zadatku vidimo da niz nije konstantan, odnosno da je $q\neq1$. Također je $q\neq-1$, jer bi tada bilo $S_{100}=0$. Stoga je $q^{100}\neq1$.

Tada je

$$a_1\frac{q^{100}-1}{q-1}=10$$

i

$$a_1\frac{q^{300}-1}{q-1}=210.$$

Podijelimo li drugu jednadžbu s prvom dobivamo

$$\frac{q^{300}-1}{q^{100}-1}=21.$$

Brojnik ovog razlomka možemo faktorizirati kao razliku kubova i tada redom slijedi:

$$\frac{(q^{100})^3-1}{q^{100}-1}=21,$$ $$\frac{(q^{100}-1)(q^{200}+q^{100}+1)}{q^{100}-1}=21,$$ $$q^{200}+q^{100}-20=0.$$

Stavimo li $x=q^{100}$ dobivamo kvadratnu jednadžbu $x^2+x-20=0$ kojoj su rješenja $x=-5$ i $x=4$.

Dakle, $q^{100}=-5$ i $q^{100}=4$. Parna potencija realnog broja ne može biti negativna, pa je jedino rješenje $q^{100}=4$.

Preostaje još odrediti prvi član niza. Izrazimo prvi član $a_1$ iz

$$a_1\frac{q^{100}-1}{q-1}=10.$$ $$a_1=\frac{10(q-1)}{q^{100}-1}=\frac{10(q-1)}{4-1}=\frac{10}{3}(q-1),\qquad q=\pm4^{1/100}.$$

Tada je traženi zbroj jednak

$$S_{400}=a_1\frac{(q^{100})^4-1}{q-1}=\frac{10}{3}(q-1)\frac{4^4-1}{q-1}=850.$$

Napomena.

Ako se ne koristi faktorizacija razlike kubova u rješavanju dobivenog sustava jednadžbi, tada se sustav svodi na jednadžbu $x^3-21x+20=0$, $x=q^{100}$. Jednadžba se može rješavati faktorizacijom ili promatranjem djelitelja slobodnog člana. Faktorizacija:

$$\begin{aligned} x^3-21x+20 &=x^3-x^2+x^2-20x-x+20\\ &=x^2(x-1)+x(x-1)-20(x-1)\\ &=(x-1)(x^2+x-20)\\ &=(x-1)(x-4)(x+5). \end{aligned}$$

Budući da je $q^{100}\neq1$, jedino dopušteno rješenje za $x=q^{100}$ je $4$. Dalje je postupak kao što je navedeno u rješenju.