1. Zadatak

Ako iz druge jednadžbe izrazimo $x=2022+y$ te uvrstimo u prvu jednadžbu, dobivamo

$$\sin\left(\pi+\frac{\pi y}{2022}\right)-\sin\frac{\pi y}{2022}=1.$$

Kako je $\sin\left(\pi+\frac{\pi y}{2022}\right)=-\sin\frac{\pi y}{2022}$, dana se jednadžba svodi na osnovnu jednadžbu

$$\sin\frac{\pi y}{2022}=-\frac12.$$

Odatle je

$$\frac{\pi y_1}{2022}=-\frac\pi6+2k\pi$$

i

$$\frac{\pi y_2}{2022}=\frac{7\pi}6+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Nakon sređivanja je

$$y_1=-337+4044k\qquad\text{i}\qquad y_2=2359+4044k,\qquad k\in\mathbb Z,$$

a tada je

$$x_1=2022+y_1=1685+4044k$$

i

$$x_2=2022+y_2=4381+4044k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Stoga će rješenja danog sustava biti

$$(1685+4044k,-337+4044k)$$

i

$$(4381+4044k,2359+4044k),\qquad k\in\mathbb Z,$$

ali preostaje primijeniti uvjete $|x|\leq2022$, $|y|\leq2022$, odnosno $-2022\leq x\leq2022$, $-2022\leq y\leq2022$.

Uvrštavanjem $k=0$ u prvo rješenje $(1685+4044k,-337+4044k)$ slijedi rješenje $(1685,-337)$.

Uvrštavanjem $k=-1$ u drugo rješenje $(4381+4044k,2359+4044k)$ slijedi rješenje $(337,-1685)$.

Konačno, tražena rješenja su $(1685,-337)$ i $(337,-1685)$.