7. Zadatak

Vrijedi $a=2r=8\,\text{cm}$. Kut $\angle ADB$ pravi je kut jer je to obodni kut nad promjerom. Također,

$$|AE|=\frac{a-c}{2}=4-\frac c2.$$

Prema Euklidovu poučku iz pravokutnog trokuta $ABD$ slijedi

$$b^2=|AE|\cdot a =\left(4-\frac c2\right)\cdot8 =32-4c,$$

odakle je

$$c=\frac{32-b^2}{4}.$$

Opseg trapeza u ovisnosti o kraku $b$ jest

$$o=a+c+2b =8+\frac{32-b^2}{4}+2b =-\frac{b^2}{4}+2b+16.$$

To je kvadratna funkcija po $b$ koja postiže maksimum za

$$b=-\frac{2}{-1/2}=4.$$

Tada je manja osnovica

$$c=\frac{32-b^2}{4}=4\,\text{cm}.$$

Dakle, trapez ima maksimalan opseg kada su krakovi i manja osnovica jednaki polumjeru $r$. Iz $|DE|^2=b^2-|AE|^2$ dobivamo

$$|DE|=\sqrt{r^2-\left(\frac r2\right)^2}=2\sqrt3.$$

Površina je

$$P=\frac{a+c}{2}\,|DE| =\frac{8+4}{2}\cdot2\sqrt3 =\boxed{12\sqrt3\,\text{cm}^2}.$$