6. Zadatak

Pojednostavimo dani izraz. Faktorizirajmo prvi nazivnik i zbrojimo članove u drugoj zagradi:

$$b+8=(b^{1/3}+2)(b^{2/3}-2b^{1/3}+4),$$ $$\frac{1+2b^{-1/3}}{1-2b^{-1/3}} =\frac{b^{1/3}+2}{b^{1/3}-2}.$$

Nakon svođenja na zajednički nazivnik, izlučivanja $b$ i kvadriranja u brojniku dobivamo

$$\begin{aligned} &\left(\frac{b}{b+8}-\frac{4b}{(b^{1/3}+2)^3}\right) \left(\frac{1+2b^{-1/3}}{1-2b^{-1/3}}\right)^2+\frac{24}{b+8}\\ &=\frac{b\left(b^{2/3}+4b^{1/3}+4-4b^{2/3}+8b^{1/3}-16\right)} {(b+8)(b^{1/3}-2)^2} +\frac{24}{b+8}\\ &=\frac{b\left(-3b^{2/3}+12b^{1/3}-12\right)} {(b+8)(b^{1/3}-2)^2} +\frac{24}{b+8}\\ &=\frac{-3b(b^{1/3}-2)^2} {(b+8)(b^{1/3}-2)^2} +\frac{24}{b+8}\\ &=-\frac{3b}{b+8}+\frac{24}{b+8} =-\frac{3(b-8)}{b+8}. \end{aligned}$$

Rješavamo nejednadžbu u skupu $\mathbb Z$:

$$\frac{-3(b-8)}{b+8}>1 \Longleftrightarrow \frac{-3b+24-b-8}{b+8}>0 \Longleftrightarrow \frac{-4b+16}{b+8}>0 \Longleftrightarrow \frac{-b+4}{b+8}>0.$$

Raspisivanjem slučajeva ili tablicom predznaka dobivamo $b\in(-8,4)$. Početni izraz nije definiran za $b=0$ (pojavljuje se negativan eksponent), pa su konačna rješenja

$$\boxed{b\in\{-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3\}}.$$

Zadatak se može riješiti i zamjenom $b=a^3$. Tada se izraz svodi na

$$\left(\frac{a^3}{a^3+8}-\frac{4a^3}{(a+2)^3}\right) \left(\frac{1+2a^{-1}}{1-2a^{-1}}\right)^2 +\frac{24}{a^3+8},$$

a dalje se rješava kao u prvom načinu.