4. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $d_1,d_2,\ldots,d_{18}$ udaljenosti točke $T$ od pravaca na kojima leže stranice pravilnoga 18-erokuta. Spojimo li točku $T$ s vrhovima toga 18-erokuta, dobit ćemo 18 različitih trokuta površina

$$P_i=\frac12a\,d_i,\qquad i=1,\ldots,18.$$

Zbroj površina tih trokuta jednak je

$$P=\frac a2(d_1+d_2+\cdots+d_{18}).$$

S druge strane, površinu 18-erokuta računamo kao zbroj površina 18 sukladnih jednakokračnih trokuta:

$$P=18\cdot\frac12a\,h,$$

gdje je $h$ visina tih jednakokračnih trokuta. Ako je $\alpha$ kut pri središtu, vrijedi $\alpha=360^\circ/18=20^\circ$, pa je

$$\cos\frac\alpha2=\frac hR,\qquad h=R\cos\frac\alpha2=R\cos10^\circ.$$

Zato je

$$P=18\cdot\frac a2R\cos10^\circ.$$

Izjednačavanjem površina dobivamo

$$\frac a2(d_1+d_2+\cdots+d_{18}) =18\cdot\frac a2R\cos10^\circ,$$

pa je konačno

$$\boxed{\frac{d_1+d_2+\cdots+d_{18}}{18}=R\cos10^\circ}.$$

Drugo rješenje.

Neka je $S$ središte opisane kružnice 18-erokuta. Dvije po dvije stranice 18-erokuta leže na paralelnim pravcima. Primjerice, stranice $A_1A_2$ i $A_{10}A_{11}$ paralelne su jer su dijagonale $A_1A_{10}$ i $A_2A_{11}$ promjeri opisane kružnice. Međusobna udaljenost tih paralelnih pravaca jednaka je dvostrukoj visini $h$ karakterističnog jednakokračnog trokuta. Zbroj udaljenosti točke $T$ do dviju takvih stranica iznosi $2h$. Analogno vrijedi $$d_1+d_{10}=2h,\quad d_2+d_{11}=2h,\quad\ldots,\quad d_9+d_{18}=2h.$$

Zbrajanjem dobivamo

$$d_1+d_2+\cdots+d_{18}=18h,$$

pa je

$$\frac{d_1+d_2+\cdots+d_{18}}{18}=h.$$

Visinu $h$ računamo kao u prvom rješenju:

$$h=R\cos10^\circ.$$

Stoga je

$$\boxed{\frac{d_1+d_2+\cdots+d_{18}}{18}=R\cos10^\circ}.$$