1. Zadatak

Iz $\binom x2=153$ dobivamo $\dfrac{x(x-1)}2=153$ tj. $x^2-x-306=0$. Rješenja ove jednadžbe su $x_1=18$, $x_2=-17$. Kako tražimo samo rješenja u skupu prirodnih brojeva, moguće je jedino $x_1=18$.

Prvi način. Sada iz prve jednadžbe imamo

$$\binom{18}y=\binom{18}{y+2}\implies\frac{18!}{(18-y)!y!}=\frac{18!}{(16-y)!(y+2)!},$$

odnosno

$$\begin{aligned}(18-y)(17-y)&=(y+1)(y+2)\\38y&=304,\end{aligned}$$

tj. $y=8$.

Drugi način. Iz svojstva simetrije binomnih koeficijenata slijedi

$$y+y+2=x$$

iz čega je $y=8$.