3. Zadatak

Površina polaznog kvadrata je $P_1=a^2$;

Neka je $|AH|=|EB|=k$. Tada je $|AE|=|BF|=kx$. Budući je $|AE|+|EB|=a$ dobije se $kx+k=a$ tj. $k=\dfrac a{x+1}$. Stranicu $a_2=|EH|$ nalazimo pomoću Pitagorinog poučka tj.

$$a_2^2=|AE|^2+|AH|^2=(kx)^2+k^2=k^2(x^2+1)=\frac{a^2(x^2+1)}{(x+1)^2}.$$

Površina upisanog kvadrata je $P_2=a_2^2=\dfrac{a^2(x^2+1)}{(x+1)^2}$;

Površina novog upisanog kvadrata je $P_3=a_3^2=\dfrac{a^2(x^2+1)}{(x+1)^2}\cdot\dfrac{(x^2+1)}{(x+1)^2}=\dfrac{a^2(x^2+1)^2}{(x+1)^4}$.

Postupak se analogno nastavlja.

Zbroj površina svih kvadrata je

$$P=a^2+\frac{a^2(x^2+1)}{(x+1)^2}+\frac{a^2(x^2+1)^2}{(x+1)^4}+\frac{a^2(x^2+1)^3}{(x+1)^6}+\ldots$$

Traženi zbroj površina je suma geometrijskog reda s kvocijentom $q=\dfrac{x^2+1}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+1}{x^2+2x+1}<1$, radi čega red konvergira.

Kako je prvi član jednak $a^2$, tražena površina je jednaka

$$P=\frac{a^2}{1-q}=\frac{a^2}{1-\dfrac{x^2+1}{(x+1)^2}}=a^2\cdot\frac{(x+1)^2}{2x}.$$