5. Zadatak

Jednadžba pravca koji prolazi ishodištem je $y=kx$.

Sjecište tog pravca s pravcem $x+y-1=0$ dobivamo rješavanjem sustava jednadžbi

$$y=kx,\quad y=-x+1.$$

Sjecište je točka $A\left(\dfrac1{1+k},\dfrac k{1+k}\right)$.

Sjecište s pravcem $x-y-1=0$ dobivamo rješavanjem ovog sustava jednadžbi

$$y=kx,\quad y=x-1.$$

Drugo sjecište je $B\left(\dfrac1{1-k},\dfrac k{1-k}\right)$.

Polovište dužine $\overline{AB}$ je

$$P\left(\frac{\dfrac1{1+k}+\dfrac1{1-k}}2,\frac{\dfrac k{1+k}+\dfrac k{1-k}}2\right)=P\left(\frac1{1-k^2},\frac k{1-k^2}\right).$$

Koordinate točke $P$ su $x=\dfrac1{1-k^2}$, $y=\dfrac k{1-k^2}$.

Promatrajmo sada razliku $x^2-y^2$:

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=\frac{1-k}{1-k^2}\cdot\frac{1+k}{1-k^2}=\frac1{1-k^2}=x.$$

Dobili smo jednadžbu $x^2-x-y^2=0$

koju možemo preurediti u $\left(x-\dfrac12\right)^2-y^2=\dfrac14$.

Traženo geometrijsko mjesto točaka je hiperbola dana ovom jednadžbom.