4. Zadatak

Imamo sljedeće slučajeve:

1. $x+y\ge0$, $x-y\ge0$, odnosno $y\ge-x$, $y\le x$. Tada imamo

$$x+y+x-y=2\Rightarrow x=1,\quad y\ge-1,\quad y\le1\Rightarrow x=1,\quad |y|\le1.$$

U tom je slučaju maksimalna vrijednost izraza $x^2-6x+y^2$ jednaka maksimalnoj vrijednosti izraza $y^2-5$ za $|y|\le1$, to jest na intervalu $[-1,1]$. Kako kvadratna funkcija u tjemenu ima minimum, maksimum se može postići samo u rubovima intervala $[-1,1]$. Maksimalna vrijednost za $y=1$ ili $-1$ iznosi $-4$.

2. $x+y\ge0$, $x-y\le0$, odnosno $x\ge-y$, $x\le y$. Tada imamo

$$x+y-x+y=2\Rightarrow y=1,\quad |x|\le1.$$

U tom je slučaju maksimalna vrijednost izraza $x^2-6x+y^2$ jednaka maksimalnoj vrijednosti izraza $x^2-6x+1$ na intervalu $[-1,1]$. Maksimum se postiže za $x=-1$ i iznosi 8.

3. $x+y\le0$, $x-y\ge0$, odnosno $x\le-y$, $x\ge y$. Tada imamo

$$-x-y+x-y=2\Rightarrow y=-1,\quad |x|\le1.$$

U tom je slučaju maksimalna vrijednost izraza $x^2-6x+y^2$ jednaka maksimalnoj vrijednosti izraza $x^2-6x+1$ na intervalu $[-1,1]$, a to je kao i u prethodnom slučaju 8.

4. $x+y\le0$, $x-y\le0$, odnosno $y\le-x$, $y\ge x$. Tada imamo

$$-x-y-x+y=2\Rightarrow x=-1,\quad |y|\le1.$$

U tom je slučaju maksimalna vrijednost izraza $x^2-6x+y^2$ jednaka maksimalnoj vrijednosti izraza $7+y^2$ na intervalu $[-1,1]$. Kako kvadratna funkcija u tjemenu ima minimum, maksimum se može postići samo u rubovima intervala $[-1,1]$ pa zaključujemo da se maksimalna vrijednost postiže za $y=1$ ili $-1$ i iznosi 8.

Zaključujemo da je maksimalna vrijednost danog izraza 8, a postiže se za

$$(x,y)=(-1,1)\qquad\text{i}\qquad(-1,-1).$$