5. Zadatak

Neka je $z_1=x_1+y_1i$, $z_2=x_2+y_2i$, $z_3=x_3+y_3i$.

Tada imamo

$$|z_1|^2=x_1^2+y_1^2=2016^2,\qquad |z_2|^2=x_2^2+y_2^2=2016^2,\qquad |z_3|^2=x_3^2+y_3^2=2016^2.$$

Nadalje, iz $z_1+z_2+z_3=0$ slijedi

$$x_1+x_2+x_3=0,\qquad y_1+y_2+y_3=0.\tag{*}$$

Točke $A$, $B$, $C$ imaju koordinate $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, $C(x_3,y_3)$.

Duljinu stranice $\overline{AB}$ računamo po formuli za udaljenost točaka:

$$|AB|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-2x_1x_2-2y_1y_2.$$

Iz (*) kvadriranjem dobijemo

$$x_1^2+x_2^2-x_3^2=-2x_1x_2,\qquad y_1^2+y_2^2-y_3^2=-2y_1y_2.$$

Slijedi

$$\begin{aligned} |AB|^2&=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\\ &=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2+x_1^2+x_2^2-x_3^2+y_1^2+y_2^2-y_3^2\\ &=2(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2)-(x_3^2+y_3^2)\\ &=4\cdot2016^2-2016^2=3\cdot2016^2. \end{aligned}$$

Analogno se dobije i

$$|BC|^2=2(x_2^2+y_2^2+x_3^2+y_3^2)-(x_1^2+y_1^2)=3\cdot2016^2,$$ $$|CA|^2=2(x_3^2+y_3^2+x_1^2+y_1^2)-(x_2^2+y_2^2)=3\cdot2016^2.$$

Zaključujemo da je $ABC$ jednakostraničan trokut kojemu duljina stranice iznosi $2016\sqrt3$.