7. Zadatak

Prvo rješenje.

Skica

Traženi pravci su tangente povučene iz točke $M(6,2)$ na koncentričnu kružnicu zadanoj kružnici sa središtem u $S(3,4)$ i polumjera $$r=\sqrt{6^2-27}=3.$$ Ako je pravac $y=kx+l$ tangenta koja prolazi točkom $M(6,2)$ vrijedi: $$2=6k+l\ \text{tj. }l=2-6k$$ $$(k\cdot3-4+l)^2=3^2(1+k^2)\ldots\ (\text{uvjet tangencijalnosti za kružnicu}).$$ Rješenje dobivenog sustava je $k=\frac5{12}$. Tada je $$l=2-6\cdot\frac5{12}=-\frac12$$ pa je jedno rješenje pravac $y=\frac5{12}x-\frac12$ ili $5x-12y-6=0$.

Kako iz točke izvan kružnice možemo uvijek povući dvije tangente, drugo je rješenje pravac paralelan s $y$-osi, a to je pravac $x=6$.

Drugo rješenje.

Napišimo jednadžbu pravca koji prolazi točkom $M(6,2)$ s koeficijentom smjera $k$. $$ly-2=k(x-6)$$ $$y=kx-6k+2$$ Presjek ovog pravca i dane kružnice su točke $A$ i $B$ čija je međusobna udaljenost $6\sqrt3$.

Očito postoje dva pravca s ovim svojstvom (pa i drugi par točaka $C,D$).

Rješavanjem sustava jednadžbi $$\begin{cases}y=kx-6k+2\\(x-3)^2+(y-4)^2=36\end{cases}$$ dobivamo kvadratnu jednadžbu $$x^2(k^2+1)-2x(6k^2+2k+3)+36k^2+24k-23=0.$$ Rješenje ove jednadžbe su apscise točaka $A$ i $B$.

S druge strane, udaljenost točaka $A$ i $B$ je $6\sqrt3$. Iz formule za udaljenost točaka slijedi $$(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=108.$$ Kako je koeficijent smjera jednak $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ dana formula prelazi u $$(x_2-x_1)^2+k^2(x_2-x_1)^2=108$$ $$(x_2-x_1)^2(k^2+1)=108$$ Prilagodit ćemo dobiveni izraz za korištenje Vieteovih formula: $$\left[(x_2+x_1)^2-4x_1x_2\right](k^2+1)=108\quad(*)$$ Kako je $$x_1+x_2=\frac{2(6k^2+2k+3)}{k^2+1},\quad\text{a}\quad x_1\cdot x_2=\frac{36k^2+24k-23}{k^2+1}$$ Izraz $(*)$ prelazi u $$\left[\frac{4(6k^2+2k+3)^2}{(k^2+1)^2}-4\frac{36k^2+24k-23}{k^2+1}\right]\cdot(k^2+1)=108$$ Ova jednadžba ima samo jedno rješenje $k=\frac5{12}$, pa je traženi pravac $$y=\frac5{12}x-\frac12.$$ Drugo je rješenje pravac $x=6$.