7. Zadatak

Neka je $x$ cjelobrojno rješenje dane jednadžbe. Tada je

$$x^3-nx^2+nx-n^2=1,$$

pa

$$x^2(x-n)+n(x-n)=1,$$

odnosno

$$(x-n)(x^2+n)=1.$$

Umnožak je jednak 1 jedino ako su oba faktora 1 ili oba $-1$.

U prvom slučaju rješavamo sustav

$$x-n=1, \qquad x^2+n=1.$$

Tada je $x=n+1$, pa

$$(n+1)^2+n=1,$$

što nakon sređivanja daje

$$n^2+3n=0.$$

Slijedi da su rješenja sustava $n=0$, $x=1$, odnosno $n=-3$, $x=-2$.

U drugom slučaju rješavamo sustav

$$x-n=-1, \qquad x^2+n=-1.$$

Tada je $x=n-1$, pa

$$(n-1)^2+n=-1.$$

Nakon sređivanja dobivamo jednadžbu

$$n^2-n+2=0,$$

koja nema rješenja u skupu cijelih brojeva.

Dakle, traženi cijeli brojevi su $n\in\{-3,0\}$.