6. Zadatak

Izračunajmo prvo opseg i površinu danog trokuta:

$$O=a+2b=98\quad\Longrightarrow\quad s=49,$$ $$P=\sqrt{s(s-a)(s-b)^2}=\sqrt{49\cdot9\cdot20^2}=420.$$

Neka su $x$ duljina osnovice i $y$ duljina kraka novog trokuta. Tada vrijedi

$$x+2y=98\quad\Longrightarrow\quad y=49-\frac x2.$$

Iz Heronova obrasca slijedi

$$420=\sqrt{49(49-x)(49-y)^2}$$

i, nakon uvrštavanja $y=49-\dfrac x2$,

$$420=\sqrt{49(49-x)\left(\frac x2\right)^2}, \qquad 120=x\sqrt{49-x}.$$

Dakle, $x$ i $\sqrt{49-x}$ su prirodni brojevi i djelitelji broja 120, pa je $\sqrt{49-x}<7$. Djelitelji broja 120 manji od 7 su $1,2,3,4,5,6$.

Provjerom dobivamo da je jednakost valjana samo za $\sqrt{49-x}=3$ i $\sqrt{49-x}=5$. Iz $\sqrt{49-x}=3$ dobivamo zadani trokut, a iz $\sqrt{49-x}=5$ slijedi $x=24$ i $y=37$.

Tada traženi trokut ima stranice $24,37,37$.