5. Zadatak

Iz $av_a=bv_b$ dobivamo $a:b=v_b:v_a=2\sqrt3:6=1:\sqrt3$, a iz $b:c=v_c:v_b=3:2\sqrt3=\sqrt3:2$ tj. $a:b:c=1:\sqrt3:2$. Neka je $a=k$, $b=\sqrt3k$, $c=2k$.

Sada je

$$\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{3k^2+4k^2-k^2}{2\cdot\sqrt3\cdot2k^2}=\frac{\sqrt3}2$$

odakle je $\alpha=30^\circ$,

a iz

$$\cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{k^2+4k^2-3k^2}{2\cdot1\cdot2k^2}=\frac12,$$

slijedi $\beta=60^\circ$.

Odavde dobivamo $\gamma=90^\circ$, tj. trokut je pravokutan. Polumjer opisane kružnice je $r=\dfrac c2$, a kako je njezin opseg $8\pi=2r\pi$ dobivamo $r=4$ i $c=8$.

Iz $8=2k$ dobivamo $k=4$, odnosno $a=4$, $b=4\sqrt3$.