1. Zadatak

Prvo rješenje. Iz slike imamo $a=c\cos2x=\dfrac{c\sqrt3}3\cos x$.

Iz dobivene jednakosti dobivamo jednadžbu $\sqrt3\cos2x=\cos x$ ili nakon sređivanja $2\sqrt3\cos^2 x-\cos x-\sqrt3=0$.

Njena rješenja su $\cos x=\dfrac{\sqrt3}2$ i $\cos x=-\dfrac{\sqrt3}3$ (ovo drugo rješenje ne odgovara jer je $x<90^\circ$).

Iz $\cos x=\dfrac{\sqrt3}2$ dobivamo duljine kateta $\dfrac c2$ i $\dfrac{c\sqrt3}2$.

Drugo rješenje. Površina trokuta $ABC$ je jednaka zbroju površina trokuta $BCD$ i $BDA$.

Uz $a=c\cos2x$ i $b=c\sin2x$ dobivamo:

$$\frac{ab}2=\frac{a\cdot\dfrac{c\sqrt3}3}2\sin x+\frac{c\cdot\dfrac{c\sqrt3}3}2\sin x,$$

i nadalje

$$c^2\sin2x\cos2x=c^2\cdot\frac{\sqrt3}3\sin x\cos2x+c^2\cdot\frac{\sqrt3}3\sin x.$$

Dijeljenjem s $c^2$, uz $\sin2x=2\sin x\cos x$, dobivamo

$$\sin x(\cos2x+1-2\sqrt3\cos x\cos2x)=0.$$

Kako je $\sin x\neq0$ imamo jednadžbu

$$\cos2x+1-2\sqrt3\cos x\cos2x=0\quad\text{tj.}\quad2\cos^2 x-2\sqrt3\cos x\cos2x=0.$$

Budući je $\cos x\neq0$ dobivamo jednadžbu iz prvog rješenja.