4. Zadatak

Uz oznake sa slike imamo $$\cos\varphi=\frac{x^2+y^2-a^2}{2xy},\qquad(1)$$ $$x^2=a^2+\left(\frac a2\right)^2-2a\cdot\frac a2\cos\alpha,\qquad(2)$$ $$y^2=a^2+\left(\frac a2\right)^2-2a\cdot\frac a2\cos(\pi-\alpha).\qquad(3)$$

Iz (2) i (3) dobivamo $x=a\sqrt{\frac54-\cos\alpha}$ i $y=a\sqrt{\frac54+\cos\alpha}$.

Uvrštavanjem u (1) dobivamo $$\cos\varphi=\frac{\frac32a^2}{2\cdot a^2\sqrt{\left(\frac54-\cos\alpha\right)\cdot\left(\frac54+\cos\alpha\right)}}=\frac3{\sqrt{25-16\cos^2\alpha}}.$$ Tada je $$\varphi=\arccos\frac3{\sqrt{25-16\cos^2\alpha}}.$$ Kut $\varphi$ će biti najveći ako je $\frac3{\sqrt{25-16\cos^2\alpha}}$ najmanji, tj. ako je $\alpha=\frac\pi2$. Promatrani romb je kvadrat.